设抛物线方程为x^2=zpy(p>0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A,B.

答案：仅存在一点M(0，-2p)满足条件.

这是2008年高考山东卷理科数学最后一题(22题)的第三小问，一模一样的！过程很多，小弟在就不在此赘述了，下面是22题的完整题目及答案，供老兄参考！
http://learning.sohu.com/20080609/n257380643_8.shtml
(查看第22题)

小弟感觉这道题挺难得，是08年19份理科数学中关于解析几何部分最难的一道，你看，光答案就是两页！唉，也怪我们山东考生命苦，每年题都这么难。再加上这道题是最后一道，压轴题，能不难吗？老兄先慢慢看看吧，反正我这低水平的人第三问看了两边，看的头都晕了，还是没弄清楚！

【希望小弟的回答对您有帮助O(∩_∩)O~】

解：你的抛物线方程是x²=2py，不是x²=zpy吧？如果是zpy那就没法解了。。

根据抛物线方程y=x²/2p，设出切点A的坐标是(a，a²/2p)，B的坐标是(b，b²/2p)以及D点的坐标(d，d²/2p)；由于向量OC=向量OA+向量OB，从物理角度讲，这就相当于求合力。也就是说OACB是平行四边形，OC、AB是对角线，且BC‖OA，AC‖OB。

OA的方程：y=ax/2p；OB的方程：y=bx/2p。

AC‖OB过A，故AC的方程：y=bx/2p+a(a-b)/2p；
BC‖OA过B，故BC的方程：y=ax/2p-b(a-b)/2p，【实际上仔细看不难看出A、B的未知数是对称的，所以，写出AC方程后，只要把a、b交换，就可直接写出BC的方程。】；

AC与BC的交点就是C，故C的坐标：x=a+b，y=(a²+b²)/2p。

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当然，如果你对向量定义十分熟悉，也可以